Математическая физика

[__DarkLord__]

В данной темя я хочу поговорить о математике, о физике и о том как удивительно они сочетаются вместе.
О интересных математических объектах, которые нашли свое место в физической рельности.

Математика в физических теориях
С созданием теории тяготения отцом классической механики - Ньютоном, им так же были созданы дифференциальное и интегральное исчисления, необходимые для описания его теории.
В XX веке с появлением теории относительности ( тензорное исчисление ) и квантовой механики ( использующей матричное исчисление ) связь математики и физики еще более укрепилось.
В 80х годах появилась ныне достаточно популярная теория суперструн ( в то время просто струн ), которая утверждает о том, что все элементарные частицы являются струнами - фундаментальными неделимыми элементами материи. Струна колеблется многомерном пространстве, которое математически может быть описано многообразием Калаби-Яу (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BE%D0%B1%D1%80%D 0%B0%D0%B7%D0%B8%D0%B5_%D0%9A%D0%B0%D0%BB%D0%B0%D0 %B1%D0%B8-%D0%AF%D1%83). Мода колебаний струны задает физические характеристики частицы вплоть до ее массы.

Идеальный платоновский мир

Математические идеи вполне могут быть не просто абстракциями, а уже созданными объектами. которые математики открывают. Это конечно не значит, что они материальны.
Древнегреческий мыслитель Платон полагал что существует вполне реальный мир в котором нет течения времени и который не имеет физического местонахождения в котором существует идеальные математические истины и человеку дается, однако, возможность познать эти математические истины.
Вот что пишет роджер Пенроуз относительно такого интересного математического объекта как множество Мандельброта (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D 0%BE_%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0 %B1%D1%80%D0%BE%D1%82%D0%B0):
"...удивительно сложная структура не является результатом изобретения ни какой-либо отдельной личности, ни группы математиков."
"...Создается впечатление, что рассматриваемая структура не является всего лишь частью нашего мышления, но что она реальна сама по себе"

Многие захотят сказать, что математика абстракция, не имеющая ничего общего с реальным миром, но находятся математические модели, которые могут описывать физические явления. И это на мой взгляд очень интересно.

Ссылки по теме

Математическая физика (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D 1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D0%B8%D0 %B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0)
Математика и реальность (http://nounivers.narod.ru/pub/jr_math.htm)
Формула природы или дьявольская математика? (http://www.membrana.ru/articles/readers/2002/11/06/170600.html)


P.S Числа Фибоначчи (http://www.youtube.com/watch?v=-DXow9hoUXA&eurl=http%3A%2F%2Fwww%2Esmartvideos%2Eru%2Ffibonac ci%2Dnumber&feature=player_embedded)

[otvorot]

Мат.физика - это еще предмет такой, на технических специальностях изучается. Так вот, тот кто столкнулся с этим монстром когда-то, будучи студентом очень лестно отзывались об этом, так сказать, хардкоре...матанализ, умноженный на 10, в совокупности с любимым школьным предметом), сори оффтоп...
Автор, ты сам-то хоть представляешь что такое многообразие Калаби-Яу,по-моему трудно представить его, не опираясь на какие-то аналогии.Из текста статьи более-менее понятно, что это многомерное пространство, но какие у него основные особенности, кроме многомерности?

[Dragon27]

Пространство Калаби — Яу (Многообразие Калаби — Яу) — компактное комплексное многообразие с кэлеровой метрикой, для которой тензор Риччи обращается в ноль. (вики)
В принципе всё, что нужно знать, если кто-нибудь понимает :)
Представлять это не нужно. И аналогиями злоупотреблять (или вообще часто употреблять) не нужно.

[__DarkLord__]

Очень жаль что тема не интересна для присутствующего здесь контингента.
Обсуждать грядущую гибель человечества и пропавшие расчески конечно куда проще.

[Dragon27]

Мало кто хорошо в ней разбирается.
А те, кто разбираются, сидят на специализированных форумах.

[otvorot]

Обсуждать грядущую гибель человечества и пропавшие расчески конечно куда проще.
Ну а что обсуждать, если мы даже малейшего представления о вопросе не имеем)

[luden]

Ну а что обсуждать, если мы даже малейшего представления о вопросе не имеем)
Обычно это никого не смущает, просто нет проблемы. А нет проблемы - нет обсуждения. Ну я знаю математическую физику, и что дальше, что мне говорить теперь?

[Dragon27]

Значит знаешь слишком хорошо, либо слишком плохо, раз никаких проблем с ней нету :)

Ну можешь начать с того, что... например... математика - это всего лишь модель, и к реальности отношения не имеет, а значит гнать её надо в шею. По крайней мере все эти тензоры, многообразия и прочее.
Я так, если что, не считаю, но...

[luden]

Значит знаешь слишком хорошо, либо слишком плохо, раз никаких проблем с ней нету
Я просто с ней не взаимодествую. Это как разговор о Пушкине, если вплотную им не заниматься любое обсуждение выльется в кучу банальностей.
По крайней мере все эти тензоры, многообразия и прочее.
Без понятия, у меня была смесь физики и матанализа на уровне интегралов и производных. Затем усиленная электруха. Там всё работало. Могу предположить, что Калаби-Яу является комплексным многообразием, то связь его с реальным миром тоже весьма и весьма комплексна, если терминология с матана не поменялась.

[Dragon27]

Математика на данный момент - единственный способ познавать природу и правильно понимать процессы происходящие в ней. Понимание физической теории - это в первую и главную очередь понимание соответствующего матаппарата + его физическая интерпретация. Любые интуитивные аналогии, попытки понять некую "суть" без попытки разобраться в соответствующей математике, попытки мысленно "представить" себе пространство Калаби-Яу чаще всего приводят к запутыванию, многочисленным заблуждениям и иллюзии понимания.
Вот :)

[Delaware Jarvis]

Dragon27, разве математика занимается познанием мира? О.о Разве физическая теория строго и обязательно требует математического аппарата? о.О

[Dragon27]

разве математика занимается познанием мира?
Я немного неправильно сказал - инструмент, с помощью которого...

Разве физическая теория строго и обязательно требует математического аппарата?
... Да! :)
А иначе это уже не теория, а огрызок какой-нибудь непродуманной идеи получается.

[Delaware Jarvis]

иначе это уже не теория, а огрызок какой-нибудь непродуманной идеи получается.
Эээ...
Закон сохранения энергии (http://ru.wikipedia.org/wiki/Закон_сохранения_энергии)
Первое начало термодинамики (http://ru.wikipedia.org/wiki/Первое_начало_термодинамики)
Законы Ньютона (http://ru.wikipedia.org/wiki/Законы_Ньютона)
Это огрызки непродуманных идей? О.о

Млин, осторожнее с формулировками :)

[Dragon27]

Эээ...

Закон сохранения энергии
скалярная физическая величина, являющаяся функцией параметров системы и называемая энергией, которая сохраняется с течением времени
Без понимания того, что физики имеют в виду под "энергией", без того матаппарата, который прилагается к этому делу (использование принципа сохранения энергии для решения задач в классической механике, формулирования законов) в голове будет висеть огрызок идеи (чего-то там сохраняется). А что там википедия прячет за фундаментальным смыслом?
Фундаментальный смысл закона сохранения энергии раскрывается теоремой Нётер. Согласно этой теореме каждый закон сохранения однозначно соответствует той или иной симметрии уравнений, описывающих физическую систему. В частности, закон сохранения энергии эквивалентен однородности времени, то есть независимости всех законов, описывающих систему, от момента времени, в который система рассматривается.
Вывод этого утверждения может быть произведён, например, на основе лагранжева формализма. Если время однородно, то функция Лагранжа, описывающая систему, не зависит явно от времени, поэтому полная её производная по времени имеет вид:
Ну и дальше формулы, сам поглядишь.

С первым началом термодинамики аналогично, формулировки сам в статье видел.
В любой изолированной системе запас энергии остаётся постоянным.
Что такое "запас энергии"?
Количество теплоты, полученное системой, идёт на изменение её внутренней энергии и совершение работы против внешних сил
Что такое "количество теплоты", "внутренняя энергия", как вычисляется "работа против внешних сил"?
Без понимания всех этих определений, и связанной с ними математики, никакого нормального понимания не будет.
Только тогда это будет продуманными идеями.

С законами Ньютона там что?
Законы Ньютона — три закона, лежащие в основе классической механики и позволяющие записать уравнения движения для любой механической системы, если известны силовые взаимодействия для составляющих её тел.
Ну как тут без матаппарата? :)

И это только принципы и частные законы ты мне привёл. А уж физические теории просто обязаны иметь матаппарат. Частенько и вовсе приходится разрабатывать матаппарат для теории по ходу создания теории, если в математике он не разработан.

[Delaware Jarvis]

Dragon27, млин, не заставляй меня быть иезуитом. Сначала ты заявляешь, что математика является самой сутью любой физической теории, потом называешь огрызками все, что без математики. Но разве третий закон Ньютона без математики лишается смысла? В каком месте мне нужна математика, чтобы знать что для покоящегося тела сила реакции опоры равна весу тела? Я не говорю о его применении в расчетах каких-либо систем, тех же реакций опоры от нагруженных балок - там используется сразу несколько законов, которые проще всего связывать между собой именно математическим аппаратом.

То же самое с законом сохранения энергии, массы, заряда и так далее. Математический аппарат позволяет использовать уже сформулированное утверждение физического закона для расчета систем. Но практически любой из физических законов формулируется без математики; математическая модель описывающая данный закон является лишь математической моделью при законе.

[Dragon27]

Сначала ты заявляешь, что математика является самой сутью любой физической теории
Чистая математика - это ещё не физика.

потом называешь огрызками все, что без математики.
Я сказал, что физическая теория без математики - огрызок непродуманной идеи. Обрати внимание на первую часть фразы.

Я не говорю о его применении в расчетах каких-либо систем, тех же реакций опоры от нагруженных балок - там используется сразу несколько законов, которые проще всего связывать между собой именно математическим аппаратом.
Понимание идеи без понимания того, как её можно использовать - это не понимание. Это скорее заученное знание.

Математический аппарат позволяет использовать уже сформулированное утверждение физического закона для расчета систем. Но практически любой из физических законов формулируется без математики; математическая модель описывающая данный закон является лишь математической моделью при законе.
Нет, их не получится так разделить. Математика с физикой неразрывно связана, она помогает и формулировать теорию и осмысливать её.
Формулировка физического закона без математики - это, по сути, сокращённое формулирование закона со всей сопутствующей математикой. Вся математика инкапсулируется внутрь слов, определений, и подразумевается, что человек понимает их, и всю стоящую за ними математику. А иначе он не понимает закон. Даже простейший третий закон ньютона подразумевает знание понятий действия, противодействия (сил).

Да, не спорю, некоторое начальное понимание человек получает из чисто бытового опыта. И можно формулировать законы на основе этих бытовых понятий. Но тут уровень совершенно никакой, чуть дальше углубишься даже в классическую механику, и бытовой уровень начинает пасовать. Ты считаешь, что на этом уровне можно заканчивать понимание природы?

[Delaware Jarvis]

Понимание идеи без понимания того, как её можно использовать - это не понимание. Это скорее заученное знание.
Термины точно подобраны корректно к данному случаю?
Математика с физикой неразрывно связана, она помогает и формулировать теорию и осмысливать её.
Аргументируй. Не могу понять этой неразрывной связи.
Даже простейший третий закон ньютона подразумевает знание понятий действия, противодействия (сил).
Так где же тогда здесь математика? Тут не прослеживается ни математического анализа, ни геометрии, ни даже арифметики.
Но тут уровень совершенно никакой, чуть дальше углубишься даже в классическую механику, и бытовой уровень начинает пасовать. Ты считаешь, что на этом уровне можно заканчивать понимание природы?
Разумеется, я так не считаю. Рано или поздно человек начинает оценивать природные явления с точки зрения взаимодействий сразу нескольких физических законов, что проще связывать именно математическими методами. Однако "проще" - не значит "невозможно без".

[Dragon27]

Термины точно подобраны корректно к данному случаю?
Не знаю. Термины можно критиковать с целью уточнения, а то запутаемся :)

Аргументируй. Не могу понять этой неразрывной связи.
Сами понятия, которыми орудует физические теория, осмысливаются никак иначе чем через математику. Набор терминов осмысливается через их взаимосвязи друг с другом (сила, как производная импульса; импульс, как произведение вектора перемещения на массу и т. д.). Законы вообще часто формулируются как уравнения (да ещё и Лоренц-ковариантные, чтобы ясно суть закона стала), и именно в виде уравнения становися понятно, как именно он действует, как он связывает величины, фигурирующие в нём. Сила тока прямо пропорциональна напряжению, обратна пропорциональна сопротивлению.

Так где же тогда здесь математика? Тут не прослеживается ни математического анализа, ни геометрии, ни даже арифметики.
Ну я, например, прослеживаю понятие вектора в простейшем, разумеется, виде.
Но это простой закон, весьма близкий к бытовым понятиям, о которых я говорил.
И изначально я, всё-таки, подразумевал более цельные и общие понятия, такие как физические теории, или хотя бы совокупность взаимосвязанных законов, понимание их работы, применения. Третий закон Ньютона сам по себе практически ни к чему не привяжешь, нужно знать, что такое сила, а она сразу поднимает понятия движения, импульса (которые, собственно, сила меняет, воздействуя на объект), ускорения (понимание которого уже требует зачаточного понимания производной) и т. д.

Рано или поздно человек начинает оценивать природные явления с точки зрения взаимодействий сразу нескольких физических законов, что проще связывать именно математическими методами. Однако "проще" - не значит "невозможно без".
Я просто не вижу иной возможности. Как мы скажем ещё? Величина зависит от величины (уже само "величина" подразумевает количественное описание, желательно понимание "как измерить" или как влияет величина, по влиянию уже вычисляем), просто зависит? Нет, она как-то зависит, описываем математически - как именно.

Добавлено через 13 минут
Понимание того, как работает теория без понимания математики практически невозможно. Любые попытки обходным путём понять теорию основаны на попытках выразить теорию через знакомые интуитивные понятия, полученные человеком в жизни. Бытовой опыт, так сказать. Здравый смысл. Всё это начисто перестаёт работать в уже давно не современной физике.

едит: Не совсем уверен как, но это сработало. ФиНВ немного ожил, люди начали постить в других темах. Просто совпадение?

[Delaware Jarvis]

ФиНВ немного ожил, люди начали постить в других темах. Просто совпадение?
Просто матан переехал в другую тему :))
Сами понятия, которыми орудует физические теория, осмысливаются никак иначе чем через математику. Набор терминов осмысливается через их взаимосвязи друг с другом (сила, как производная импульса; импульс, как произведение вектора перемещения на массу и т. д.).
Не соглашусь, но похоже мы тут друг друга не переубедим.

Для меня производная - это математическое описание скорости (не обязательно механического движения), интегрирование - это математическое описание накопления (вспомнить тот же вывод формул площадей, к примеру и его объяснение), вектор - это математическое описание действующего фактора, градиент - это математическое описание скорости изменения чего-либо по какому-то направлению, сложение - это математическое описание объединения того, что можно объединять (например, сложение массы воды и порошка при их смешивании), вычитание, произведение и деление - частные случаи сложения и так далее. Т.е. математика - это инструмент, который не зависит от физики и не устанавливает зависимость физики от себя, но который при грамотном применении позволяет добиваться конкретного инженерного результата.

Проще говоря, сначала что-то узнается из мира, что-то приходит со стороны физики, а лишь затем оно связывается в виде математической модели. По крайней мере такой подход мне позволяет объяснять студентам некоторые очевидные вроде бы вещи, типа почему нельзя получить КПД при делении мощности лампы на её световой поток.

Чегой-то у меня возникает навязчивое ощущение, что мы об одном и том же пытались говорить.

[Dragon27]

производная - это математическое описание скорости
А скорость - ... ? Или это у тебя уже базовое понятие?
А я скорее скорость понимаю через производную :)

интегрирование - это математическое описание накопления
Что за накопление?

градиент - это математическое описание скорости изменения чего-либо по какому-то направлению
Это скорее производная по направлению. Градиент показывает направление скорейшего изменения скалярной функции (он сопоставляет вектор каждой точке).

вычитание, произведение и деление - частные случаи сложения и так далее
Частным случаем назвать можно разве только вычитание, если хочется. Умножение и деление - это другие операции, которые можно определить с помощью сложения (на поле действительных чисел) и некоторых других вещей.

Проще говоря, сначала что-то узнается из мира, что-то приходит со стороны физики, а лишь затем оно связывается в виде математической модели.
"со стороны природы". Но не обязательно, теоретическая физика с удовольствием работает и без природы, внутри себя, выдавая потом проверябельный результат. Наверное, неправильно тебя понял.
В любом случае, математика и физика - это неразделяемый уже симбиоз (может разве на заре создания чего-то там было отдельно, но вряд ли это можно назвать физикой). Любые попытки понять что-то в физике неизбежно требуют привлечения математических понятий, и это не просто "инженерное применение", это именно понимание.
"Математика поставляет в физику всё понимание." (с) Munin
Физика - это не математика. Это ещё и физическая интерпретация математических моделей. Можно сказать - определённым образом структурированная математика :). Математическая конструкция. Может даже с введением некоторых своих понятий (и, конечно же, своих правил поведения, убедительности, строгости и т. д.).
Ну и ещё экспериментальная физика, да.

[Анкар]

. Но не обязательно, теоретическая физика с удовольствием работает и без природы, внутри себя, выдавая потом проверябельный результат.
Наблюдение -> модель. Иначе никак. Уже потом можно исследовать модель и тем самым получать наводки для новых наблюдений, которые подтвердятся или нет, но с бодуна формулы брать бесполезно. Можно придумать абсолютно логичную мат. модель для вселенной, состоящей из пончиков, но толку?

[Dragon27]

Наблюдение -> модель. Иначе никак.
Наблюдения уже были сделаны давно, и сейчас теоретическая физика спокойно может подпитываться сама от себя, создавая целые теории, и пробуя потом их на реальности.
То есть
Уже потом можно исследовать модель и тем самым получать наводки для новых наблюдений
Вот она и исследует уже модели, и даже создаёт новые, без постоянной подпитки экспериментами. Она уже достаточно сильно оторвалась от непосредственного вывода моделей из наблюдений.